|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Voorwaardelijke kansen en testuitslagen
Hoi,
Ik heb een vraag over het toepassen van de stelling van Wilson.
Gegeven: een priemgetal p en gehele getallen h en k zodat h+k=p-1.
Te bewijzen: h!.k!=(-1)k+1 (mod p) .
Ik heb geen idee hoe ik moet beginnen. Kun u mij misschien helpen?
Groetjes Berthson
Antwoord
Hoi,
De Stelling van Wilson zegt dat: p is priem als en slechts als (p-1)!=-1 (mod p)
Voor p=2 geldt de eigenschap: 0!.1!=1=(-1)1+1 (mod 2) en 1!.0!=1=-1=(-1)0+1 (mod 2).
Voor p 2, is p oneven en p-1 dus even. Voor k=p-1 en h=0 hebben we: h!.k!=(p-1)!=-1 (mod p) volgens de stelling van Wilson. Omdat k=p-1 even is, is (-1)k+1=-1, zodat inderdaad h!.k!=(p-1)!=(-1)k+1(mod p). De eigenschap geldt dus alvast voor k=p-1.
Het volstaat verder te bewijzen dat de eigenschap geldt voor k-1 als ze geldt voor k (de techniek van de eindige afdaling) om te besluiten dat ze voor elke k tussen 0 en p-1 geldt.
Veronderstel dus dat h!.k!=(-1)k+1 (mod p) met k0. Omdat k0, bestaat k-1(mod p). We hebben dan: (h+1)!.(k-1)!=(h+1)/k.[h!.k!]=(h+1).k-1.(-1)k+1 (mod p). Er geldt ook dat h+k=p-1, zodat (h+1)+k=p en dus: h+1=-k (mod p), zodat (h+1). k-1=-1 (mod p).
En dus: (h+1)!.(k-1)!=(-1).(-1)k+1=(-1)2.(-1)(k-1)+1=(-1)(k-1)+1 (QED).
Groetjes,
Johan
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
